Suite de Cauchy

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Augustin Louis Cauchy En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite de réels, de complexes, de points d'un espace métrique, ou d'un espace topologique uniforme dont les termes se rapprochent à partir d'un certain rang. Ces suites sont celles susceptibles de converger. Elles sont au centre de la définition de complétude. Les suites de Cauchy portent le nom du mathématicien français Augustin Louis Cauchy. Il existe une notion équivalente pour les filtres :
Suite de Cauchy

Augustin Louis Cauchy En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite de réels, de complexes, de points d'un espace métrique, ou d'un espace topologique uniforme dont les termes se rapprochent à partir d'un certain rang. Ces suites sont celles susceptibles de converger. Elles sont au centre de la définition de complétude. Les suites de Cauchy portent le nom du mathématicien français Augustin Louis Cauchy. Il existe une notion équivalente pour les filtres : les filtres de Cauchy.

Suite réelle ou complexe de Cauchy

La différence des termes consécutifs de la suite (\ln(n)) tend vers 0. On peut préciser la vitesse de convergence : \ln(n+1)-\ln(n)=\ln\left(1+\frac\right)=\frac+O(1/n^2). Cependant, \ln(2n)-\ln(n)=\ln(2) ne converge pas vers 0 lorsque n tend vers l'infini. Cette constatation mesure un défaut de non convergence de la suite \ln(n) et conduit à énoncer un critère de convergence, le critère de Cauchy. Une suite de réels ou de complexes est dite de Cauchy lorsque les termes de la suite se rapprochent uniformément les uns des autres en l'infini au sens où : \lim_n\rightarrow \infty\sup_|r_p-r_q|=0. Cette dernière condition se réécrit classiquement à l'aide de quantificateurs universels et existentiels : (\forall\epsilon>0)\; (\exists N\in \mathbb N)\; (\forall p, q>N)\; |r_p-r_q|0)\; (\exists N\in \mathbb N)\; (\forall n>N)\; (\forall k>0)\; |r_-r_n|N, on a : d(x_p, x_q)\leq d(x_p, l)+d(l, x_q)0. Comme x est une suite de Cauchy, il existe un entier naturel N tel que pour tous p, et q>N, on a : d(x_p, x_q)0. Comme f est uniformément continue, il existe \eta>0 tel que, pour tous x et x' de X, on a : d_X(x, x')\leq \eta\Rightarrow d_Y(fx, fx')\leq \epsilon. Comme x est de Cauchy, il existe un entier naturel N tel que pour tous p, q>N, on a : d_X(x_p, x_q)N, on a par l'implication ci-dessus : d_Y(fx_p, fx_q)0 un réel standard. Alors pour p et q>N, on a : d(x_p, x_q)N on a : g_p^.g_q\in U.
- Dans un espace vectoriel topologique localement convexe E, une suite de vecteurs (u_n) est dite de Cauchy lorsque pour tout voisinage convexe V de 0, il existe un entier naturel N tel que pour tous p, q>N on a : u_p-u_q\in E.

Voir aussi

- Filtre de Cauchy
- Espace complet
- Coupure de Dedekind
- Construction des nombres réels

Notes et références

Notes

Références

- Catégorie:Espace métrique Catégorie:Suite ar:متتالية كوشي bg:Редица на Коши ca:Successió de Cauchy cs:Cauchyovská posloupnost da:Cauchy-følge de:Cauchy-Folge el:Ακολουθία Κωσύ en:Cauchy sequence es:Sucesión de Cauchy fi:Cauchyn jono he:סדרת קושי hu:Cauchy-sorozat it:Successione fondamentale ja:コーシー列 ko:코시 수열 nl:Cauchyrij pl:Ciąg Cauchy'ego pt:Sucessão de Cauchy ro:Şir Cauchy ru:Фундаментальная последовательность sk:Cauchyho postupnosť sv:Cauchy-följd uk:Фундаментальна послідовність yo:Ìtẹ̀léntẹ̀lé Cauchy zh:柯西序列
Sujets connexes
Algèbre normée   Analyse (mathématiques)   Analyse non standard   Augustin Louis Cauchy   Complétude   Construction des nombres réels   Continuité uniforme   Coupure de Dedekind   Entier naturel   Espace complet   Espace métrique   Espace vectoriel normé   Famille (mathématiques)   Filtre (mathématiques)   France   Groupe topologique   Inégalité triangulaire   Limite de suite   Mathématicien   Quantificateur (logique)   Suite (mathématiques)   Valeur d'adhérence   Vitesse de convergence  
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