Pendule simple

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Le pendule simple est le modèle de pendule pesant le plus simple : on considère une masse ponctuelle au bout d'une liaison rigide sans masse de longueur l pouvant tourner dans un plan vertical. Le point matériel en G, de masse m, se déplace alors sur un arc de cercle de rayon OG : l'effet du poids tendant constamment à ramener le pendule vers sa position d'équilibre, celui ci oscille dès qu'il a été écarté de la verticale puis laissé à la seule action de la p
Pendule simple

Le pendule simple est le modèle de pendule pesant le plus simple : on considère une masse ponctuelle au bout d'une liaison rigide sans masse de longueur l pouvant tourner dans un plan vertical. Le point matériel en G, de masse m, se déplace alors sur un arc de cercle de rayon OG : l'effet du poids tendant constamment à ramener le pendule vers sa position d'équilibre, celui ci oscille dès qu'il a été écarté de la verticale puis laissé à la seule action de la pesanteur. Un pendule réel assimilable à un pendule simple est constitué d'une masse de faible dimension au bout d'un fil. (Voir illustration ci-dessous). Pendule simple

Les équations du mouvement

Mise en équation

On repère la position du pendule simple par l'angle qu'il fait avec la verticale descendante. On choisit une orientation positive : la position de la masse est donc repérée par l'élongation angulaire algébrique \theta\, . On note \overrightarrow l'accélération due à la pesanteur (sous nos latitudes, g \simeq 9, 81\ m.s^). Analyse des forces :
- Le poids \overrightarrow P = m \overrightarrow
- La tension \overrightarrow T de la tige, toujours perpendiculaire au mouvement circulaire de G. Dans ce modèle les autres forces sont oubliées, notamment les forces de frottement; or un pendule s'arrète d'osciller sous l'action des frottements: le mouvement perpétuel n'existe pas à cette échelle d'énergie. Energie mécanique du pendule :
- La somme de l'énergie cinétique du pendule et de son énergie potentielle de pesanteur, mesurée à partir du point le plus bas vaut (la vitesse de la masse valant v = l\fracd \theta): :E = E_c+E_p= \fracm l^2 \dot\theta^2+mgl(1-\cos\theta) avec \dot\theta = \fracd \theta
- Puisque la tension de la tige est à tout instant perpendiculaire au mouvement circulaire de G, cette force exerce un travail nul. De plus comme le poids est une force conservative et que toute autre force est négligée, l’énergie mécanique du système est conservée. Dire que cette quantité est conservée au cours du mouvement, c'est dire que sa valeur est constante au cours du temps, ou encore que sa variation est nulle à tout instant. Ceci peut se traduire mathématiquement en écrivant que la dérivée par rapport au temps est nulle. On obtient alors : :\ddot\theta + \omega_0^2 \sin\theta = 0 avec \omega_0^2 = \frac et \ddot\theta = \fracd \dot\theta
- Cette équation peut également être déduite du Principe Fondamental de la Dynamique, en projetant les deux forces \vec T et \vec P sur la tangente au mouvement. Puits de potentiel : Si on trace en fonction de θ le graphe de l'énergie potentielle mgl(1-\cos\theta)\, , on obtient la figure suivante. On a tracé en gris le niveau de l'énergie potentielle maximale 2mgl. Puits de potentiel du pendule simple
- Si l'énergie mécanique E du pendule se situe à un niveau E1 inférieur à 2mgl, le pendule est confiné dans un puits de potentiel. Il existe une élongation maximale \theta_0 du pendule pour laquelle la vitesse s'annule, et le pendule oscille périodiquement. On a alors : :\fracm l^2 \dot\theta^2-mgl\cos\theta = -mgl\cos \theta_0 qui se simplifie en : : \dot\theta^2 + 2 \omega_0^2 ( \cos\theta_0 - \cos\theta) = 0
- Si l'énergie E du pendule se situe à un niveau E2 supérieur à 2mgl, alors le pendule franchit les barrières de potentiel, sa vitesse angulaire ne peut s'annuler et le pendule tourne autour du point O.

Résolution

La résolution des équations du mouvement du pendule simple n'est pas aisé. Le pendule cycloïdal de Huygens représente un mouvement dans un puits de potentiel plus facile à résoudre. Le pendule simple discret propose une approche pas à pas de la résolution. 1/ pour de petites oscillations, on peut confondre \sin(\theta) avec \theta. On obtient alors l'équation : :\ddot\theta + \omega_0^2 \theta = 0 avec, rappelons-le, \omega_0^2 = \frac dont une solution est : :\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega_0 t)\, ; de période T_0 = \frac2\pi\omega_0 = 2\pi\sqrt\frac . 2/ pour de plus grandes amplitudes, on peut utiliser pour la période :
-La formule de Borda : T(\theta_0) = T_0 ( 1 + \frac\theta_0^2 )
-La formule exacte : T(\theta_0) = T_0 2K(\sin\frac\theta_0) \over \pi, qui utilise une fonction elliptique de Jacobi. D'autre part, l'oscillation périodique devient nettement anharmonique, comme le montre le taux d'harmoniques. 3/ pour une énergie mécanique supérieure à 2mgl, le pendule tournoie de façon périodique. À grande vitesse V, cette période T tend vers 2\pi l \over V.

Tension de la tige

Une quantité physique dépend de la masse du pendule : la tension de la tige (pour sa mesure, on peut coller sur la barre une jauge de contrainte étalonnée). La projection sur la normale (\vec N) du Principe Fondamental de la Dynamique permet d'obtenir la relation : m a_\vec N = T + P_\vec N Or l'expression de l'accélération radiale en coordonnées polaires avec une distance à l'origine constante (rayon constant) est l\dot\theta^2 d'où T = mg \cos \theta + ml \dot\theta^2 où et nous avons vu que :ml \dot\theta^2 = 2mg ( \cos \theta - \cos \theta_0) , d'où :T = mg ( 3 \cos \theta - 2 \cos \theta_0) \, T varie entre mg \cos \theta_0\, et mg(3-2\cos \theta_0)\, . Par exemple, pour 90°, T varie entre entre 0 et 3mg. Si on remplace la tige par un fil, il faut prévoir un fil résistant à 3kg pour une masse de 1 kg, sinon le fil casse et la masse part ensuite en trajectoire parabolique. L'expérience est facile à montrer et assez spectaculaire mais il faut trouver le fil qui ne s'étire pas trop avant de casser. Une mise en évidence facile de l'augmentation de la tension T est d'utiliser un fil élastique. Mais il ne s'agit plus du tout du même problème et ce n'est plus du tout élémentaire ( cf botafumeiro).

Boucler la boucle

T s'annule pour certaines conditions initiales de lancement différentes de celle proposée ci-dessus, voire même devient négative, la tige supportant alors la masse. Il est classique de montrer que, lancée du point le plus bas avec une énergie 2mgl, la masse arrivera au bout d'un temps infini au sommet du cercle (et le cas est intégrable aisément). On se doute que si la tige est remplacée par un fil (liaison unilatérale), la trajectoire ne sera pas : montée au sommet, puis chute à la verticale ; il y aura décrochage quand T sera nulle, c’est-à-dire pour \theta tel que \cos(\theta)=- 2 \over 3, ce qui correspond à un angle d'amplitude 132° et une hauteur h = l + 2/3 l. L'expérience est facile à faire avec un pendule dont la masse est une pièce trouée, glissant d'abord sur un demi-cercle rigide, puis se retrouvant "dans l'air" attachée à son fil pour la deuxième partie du mouvement (ou évidemment avec la jauge de contrainte !). Alors que pour une tige, il suffit que l'énergie E dépasse 2mgl pour que le pendule se mette à tourner (looping the loop), dans le cas d'un fil il faut une énergie cinétique initiale supérieure à 5\over 2mgl afin que le fil reste tendu.

Grandes amplitudes et non linéarité

On introduit progressivement la non-linéarité:
- d'abord en considérant le deuxième terme du développement du sinus.
- puis en traitant le cas général, qui nécessite l'utilisation des fonctions elliptiques de Jacobi K, sn, cn, dn.

Formule de Borda

On considère donc l'équation différentielle approchée, dite de Duffing, obtenue en remplaçant \sin \theta par \theta - \theta^3 \over 6 : :\ddot\theta + \frac \theta - \frac\theta^3 = 0 On montre alors que la période dépend de l'amplitude. La formule de Borda donne : :T = 2\pi \sqrt \frac(1+ \theta_0^2 \over 16) Le terme négligé qui suit est \frac11\theta_0^4 + O(\theta_0^6). Cette formule suffit jusqu'à π/2, à 3% de précision (1 + 10/64 = 1.156 au lieu de 1.18). Il en existe plusieurs démonstrations :
- La méthode des perturbations de Lindstedt-Poincaré consiste à modifier la solution \theta = \theta_0 \sin(\omega_0t)\, en lui ajoutant une petite perturbation \theta_1\, tout en modifiant également la pulsation du mouvement en \omega_0+\omega_1\, . On cherche la valeur à donner à \omega_1\, de façon que l'équation différentielle, simplifiée en se limitant aux perturbations du premier ordre, donne une solution \theta_1\, bornée. Cette valeur de \omega_1\, est -\omega_0\theta_0^2\over 16 de sorte que la pulsation retenue est \omega = \omega_0(1 - \theta_0^2 \over 16). T étant proportionnel à l'inverse de ω, la formule de Borda en découle.
- Si on suppose l'oscillation quasi-sinusoïdale, la raideur moyenne étant plus faible, on s'attend physiquement à une diminution de la pulsation. En utilisant la formule d'Euler \sin^3x = 3\over 4 \sin x -_\mathrm, et en cherchant \theta=\theta_0 \sin(\omega t)\, , il vient -\omega^2 +\omega_0^2 -\omega_0^2\frac\theta_0^2\frac=0 , d'où \omega^2 = \omega_0^2(1 - \theta_0^2 \over 8) et \omega = \omega_0(1 - \theta_0^2 \over 16).
- On peut préférer la démonstration suivante dite du viriel : = \omega_0^2 ~ \omega_0^2 d'où par la formule de Wallis : \theta_0^2 \omega^2 \times \frac = \omega_0^2(\theta_0^2 \times \frac - \frac\theta_0^4 \times \frac1 \times 32 \times 4), soit \omega^2 = \omega_0^2(1- \frac\theta_0^2).
- L'équation du mouvement du pendule est complètement intégrable grâce aux fonctions elliptiques, ce qui fait l'objet du paragraphe qui suit. Il suffit alors d'effectuer un développement à l'ordre souhaité de la solution exacte.

Cas pleinement non-linéaire

On considère le cas pleinement non-linéaire. Ecrivons la conservation de l'énergie mécanique :E = \fracm l^2 \dot\theta^2 + mgl(1-\cos\theta) sous la forme : l^2\dot\theta^2 + 2gh = 2gH , avec h = l(1-\cos\theta) = 2l \sin^2 \frac\theta Posons H = 2lk^2. Il existe trois cas :
- k < 1 , le pendule oscille : h varie entre 0 et H = l(1-\cos\theta_0). On a : :\dot\theta^2 = 2g \over l(\cos \theta - \cos \theta_0) Entre 0 et \theta_0, on a \dot\theta = \sqrt2g \over l(\cos \theta - \cos \theta_0). Un petit angle élémentaire d\theta est parcouru pendant un intervalle de temps élémentaire dt = \sqrt\frac\fracd \theta\sqrt\cos \theta -\cos \theta_0. La période totale des oscillations est donc T = 4 \sqrt\frac\int_0^\theta_0\fracd \theta\sqrt\cos \theta -\cos \theta_0, et on montre que : T= 4 \sqrt\frac K (k) = T_0 2K (k) \over \pi avec k = \sin \frac \theta_0 \dot\theta= 2 k \omega_0 \, \mathrm(\omega_0t, k) h = H\, \mathrm^2(\omega_0t, k) où K, sn et cn sont des fonctions elliptiques de Jacobi, K étant tabulée ci-dessous. |border="3" !\theta en degré !\theta en radian !!1 + \theta^2 \over 16 !1 + \theta^2 \over 16 + 11\theta^4 \over 3072 !T\over T_0 = 2K(\sin(\theta_0/2)) \over \pi |---- |align="center" |10 || 0, 175 || 1, 00 || 1, 00 || 1, 00 |----- |align="center" |20 || 0, 349 || 1, 01 || 1, 01 || 1, 01 |----- |align="center" |30 || 0, 524 || 1, 02 || 1, 02 || 1, 02 |----- |align="center" |40 || 0, 698 || 1, 03 || 1, 03 || 1, 03 |----- |align="center" |50 || 0, 873 || 1, 05 || 1, 05 || 1, 05 |----- |align="center" |60 || 1, 047 || 1, 07 || 1, 07 || 1, 07 |----- |align="center" |70 || 1, 222 || 1, 09 || 1, 10 || 1, 10 |----- |align="center" |80 || 1, 396 || 1, 12 || 1, 14 || 1, 14 |----- |align="center" |90 || 1, 571 || 1, 15 || 1, 18 || 1, 18 |----- |align="center" |100|| 1, 745 || 1, 19 || 1, 22 || 1, 23 |----- |align="center" |110|| 1, 920 || 1, 23 || 1, 28 || 1, 30 |----- |align="center" |120|| 2, 094 || 1, 27 || 1, 34 || 1, 37 |----- |align="center" |130|| 2, 269 || 1, 32 || 1, 42 || 1, 47 |----- |align="center" |140|| 2, 443 || 1, 37 || 1, 50 || 1, 60 |----- |align="center" |150|| 2, 618 || 1, 43 || 1, 60 || 1, 76 |----- |align="center" |160|| 2, 793 || 1, 49 || 1, 71 || 2.01 |----- |align="center" |170|| 2, 967 || 1, 55 || 1, 83 || 2, 44 |----- |align="center" |180|| 3, 142 || 1, 62 || 1, 96 || \infty | La fonction K admet également le développement suivant : K(k) = \pi \over 2(1 + k^2 \over 4 + 9k^4 \over 64 + \cdots + \frac2n \choose n^2k^ + \cdots), où 2n \choose n est un coefficient binomial. En remplaçant k par \sin \theta_0 \over 2 et en se limitant aux deux premiers termes, on retrouve la formule de Borda.
- k = 1 , cas limite correspondant à \theta_0=\pi. On a : Temps infini pour monter à la verticale \theta = 4 \arctan (e^\omega_0t)- \pi \dot\theta=\frac2\omega_0\mathrm(\omega_0t) h = 2l \, \mathrm^2(\omega_0t) où ch et th sont respectivement le cosinus et la tangente hyperbolique.
- k > 1 , le pendule tournoie : v^2 varie entre 2g(H-2l) et 2gH. La période pour effectuer un tour est T_0 1 \over \pi kK(1\over k). Si H est très grand, compte tenu du fait que K(0) vaut π/2, on pourra vérifier que la période tend vers 2\pi l \over V. Il est parfois judicieux de prendre pour période le temps mis pour faire deux tours. En effet, pour k légèrement inférieur à 1, le pendule effectue une trajectoire de longueur voisine de 4π. Avec cette convention, on a alors T = 2T_0 1 \over \pi kK(1\over k) (Voir Chenciner . On a également : \dot\theta= 2k \omega_0 \, \mathrm(k\omega_0t, 1/k) h = 2l \, \mathrm^2(k\omega_0t, 1/k) où sn et dn sont des fonctions elliptiques de Jacobi.

Plan de phase

On appelle orbite de phase la représentation paramétrée en temps du couple (\theta(t), \dot\theta(t)), ou de fonctions monotones de celles-ci. Dans le graphe ci-dessous, \theta est en abscisse et \dot \theta en ordonnée. On discerne :
- la région dite d'oscillation (en noir), dite en œil d'Horus ou en œil en amande. Chaque orbite est parcourue dans le sens inverse au sens trigonométrique et tourne autour des points d'équilibre stables S, correspond aux valeurs 0, 2π, 4π, etc de \theta_0.
- les deux régions de révolution (en rouge) , soit positive (en haut), soit négative (en bas), correspondant au cas où le pendule tourne autour du point O.
- la séparatrice, en bleu, correspondant au cas limite où \theta_0 vaut π.
- les points d'équilibre stable S déjà évoqués.
- Les points d'équilibre instable I correspondant aux valeurs π, 3π, etc de \theta_0. Il faut un temps infini pour parcourir une orbite qui va d'un point I à un autre. Espace des phases du pendule simple voir également pour une animation . Il paraît clair dorénavant que si l'on établit un mécanisme quelconque qui peut soustraire ou ajouter une petite énergie au pendule au voisinage de l'élongation π, on aura un phénomène difficile à prévoir même s'il est déterministe: exemple , placer un tout petit pendule accroché à la masse m: on a ainsi un pendule double ; les oscillations non-linéaires de ce pendule, lesté d'un tel minuscule pendule, laissent pantois quand on les enregistre: Poincaré fut , avec Liapunov , un des premiers à considérer ce genre de problème; puis Birkhoff; puis l'école russe entraînée par la haute figure de Kolmogorov, et puis celle de Bogoliubov et de Krylov, puis Arnold, ... jusqu'au moment où un article de 1971 de Ruelle et Takens vînt suggérer que la situation était normale dès que l'espace des phases était à trois dimensions ou plus .

Étude fine au voisinage de la séparatrice

On s'intéresse au spectre de la vitesse juste au-dessus et au-dessous du niveau énergétique de la séparatrice. Sur cette séparatrice, le spectre est qualifié de mode soliton.

Rappel : la séparatrice et le mode soliton

Dans le cas de la séparatrice , l'équation du premier ordre s'écrit : : \dot\theta^2 = 2\omega_0^2(1+\cos\theta) = 4\omega_0^2 \sin^2\theta\over 2 avec \theta(0) =0 et \dot\theta(0)=2\omega_0 La solution "soliton" est caractérisée par les équations suivantes : \theta = 4 \arctan (e^\omega_0t)- \pi h = 2l \, \mathrm^2(\omega_0t) \dot\theta=\frac2\omega_0\mathrm(\omega_0t) v^2 = 4gl \over \mathrm^2(\omega_0t)

Oscillations longues : 1 - k2 1 : soit N = T/To, avec T la période pour effectuer deux tours, correspondant à une rotation de 4π. N vaut 2K(1/k) \over k\pi. Nous prendrons comme pulsation fondamentale du mouvement \omega = \omega_0 \over N. On a : \dot\theta = 2\omega_0 \over N(1 + a_2\cos 2\omega t + a_4 \cos 4\omega t + \cdots) avec a_ = 4 \frac, et q = \exp(- \pi K(\sqrt) \over K(1/k)). Si k est très grand, le mouvement est un mouvement de rotation autour de O à très grande vitesse. q est très petit, et le mouvement s'effectue quasiment selon la loi \dot\theta = 2\omega_0 \over N = 4\pi \over T. Quand k diminue, q augmente, de sorte que les a2n prennent de l'importance. Lorsque k est très légèrement supérieur à 1, N est très grand, q \simeq e^\frac-\pi et est très proche de 1. Le spectre est très étendu, puisque, pour n ~ N, an vaut encore environ 0, 17. Ci-dessous, les spectres de fréquence, par valeurs décroissantes de k, depuis une grande valeur jusqu'à une valeur légèrement supérieure à 1. En abscisse, on a porté les indices pairs 2n et en ordonnées les valeurs de a2n (on a pris a0 = 2) : Spectre du pendule simple Spectre du pendule simple Spectre du pendule simple Cas k < 1 : la valeur de N est cette fois 2K(k) \over \pi. La pulsation du mouvement est toujours \omega = \omega_0 \over N. On a : \dot\theta = 2\omega_0 \over N(a_1\cos \omega t + a_3 \cos 3\omega t + \cdots) avec a_ = 4 \frac, et q = \exp(- \pi K(\sqrt) \over K(k)). La situation où k est très légèrement inférieur à 1 est comparable à celle où k est très légèrement supérieur à 1. Lorsque k diminue, q décroît, et lorsque k est proche de 0, la pulsation prépondérante est celle qui correspond à ω. Ci-dessous, les spectres de fréquence, par valeurs décroissantes de k, depuis une valeur légèrement inférieure à 1 jusqu'à une valeur très petite. En abscisse, on a porté les indices impairs 2n+1 et en ordonnées les valeurs de a2n+1 : Spectre du pendule simple Spectre du pendule simple Spectre du pendule simple Voici également la représentation graphique de \dot \theta et la représentation des sommes partielles de Fourier correspondantes, d'une part pour k inférieur à 1, d'autre part pour k supérieur à 1 : Série de Fourier du pendule simple Série de Fourier du pendule simple

Pendule simple amorti

-
niveau élémentaire : en petites oscillations, le problème a déjà été étudié; il est simple si le régime est de Stokes, ou si l'amortissement est de type friction solide.
-
niveau élevé : dans le cas où l'on prend en compte la résistance de l'air qui, aux vitesses en jeu, n'est pas en régime de Stokes ( en -kv) , mais en régime de fort nombre de Reynolds ( en -kv^2.sgnv), comment tracer les séparatrices ? comment trouver combien de tours fait le pendule avant d'osciller. Et puis comment étudier sérieusement aujourd'hui ce qui a été by_passé par Galilée, comme indiqué précédemment?
-
Nombre de tours : il se trouve que ce problème est analytiquement soluble : Si \frac(1 + e^4nk\pie^-2k\pi) < H < \frac(1 + e^4nk\pie^+2k\pi), le pendule tournera n tours avant d'osciller. Cette indication suffit à tracer une esquisse de portrait de phase assez correcte.
- L'air: Le fait est que la pression de l'air joue un rôle: quelques secondes par jour pour une pendule! Et il existe un minimum de la période en fonction de la pression! Cela n'a plus vraiment d'importance aujourd'hui, car les pendules sont systématiquement recalées sur l'émetteur GPS, et plus tard peut-être sur l'émetteur du système Galileo.

Histoire des sciences

L'analyse de Evangelista Torricelli

Dans le cas de petites oscillations, Torricelli est certainement un des premiers à obtenir une mesure du coefficient 2\pi en partant de considérations sur la chute ralentie. (Cf chute libre). On peut pour considérer le mouvement du pendule d'amplitude 3\theta_0 \, , l'approximer par une chute sur un plan incliné de 2.\theta_0 \, , de longueur BC= 2l .sin \theta_0, suivi d'une trajectoire horizontale de C en A , de longueur BC/2. On aura ainsi le quart de la trajectoire. La période T dans cette cuvette BCAC'B' est :
-T = 4( 2 + 1/2) \sqrt\frac \sqrt\fracsin\theta_0 sin 2\theta_0 \, soit par approximation , T = 2.\sqrt\frac \frac\sqrt2 \, soit une approximation de \pi : :\pi \approx \frac\sqrt2 = 3, 53 \, Une autre approximation donne 2+\sqrt2 = 3, 414 \, Mais mieux encore, Torricelli remarque à juste titre que :\frac m v^2 + mg h = cste \, , avec h \approx \frac \, , soit : v^2 + (g/l) s^2 = cste \, Il lui suffit de vérifier que la fonction sinus satisfait l'équation et il a le résultat. En bon élève de Cavalieri, est-il capable de faire ce raisonnement avant 1647? La mystérieuse cassette ayant disparu à sa mort , on ne saura sans doute jamais rien des travaux ultimes de Torricelli (1608-1647) . En tout cas, son disciple ( via Mersenne), Huygens, trouve la valeur de 2\pi avant 1659, et montre que la courbe telle que h = s^2/2l exactement est la cycloïde. Rappelons que Dettonville publie son Traité de la Roulette en janvier 1659]. Remarque : ces termes sont anachroniques : g n'existe pas encore, car il n'y aura des unités que tard dans le siècle mais on compare au temps de chute libre de la hauteur H=l : ce fameux rapport : 1.11 (~ \pi/(2sqrt2)), qui intriguait Mersenne.

L'isochronicité

= ( d'après Koyré, études galiléennes) Il pourrait paraître surprenant alors, que Galilée et ses élèves n'aient pas vu ce phénomène, alors que 4K devient INFINI lorsque les amplitudes pendulaires tendent vers 180°.Or, Galilée a affirmé que les oscillations du pendule étaient isochrones ( voir pendule pesant ). Il s'agit donc là d'une cécité expérimentale, qui vaut la peine d'être mise en exergue. 1/. À la décharge de Galilée, on peut remarquer qu'il opérait vraisemblablement avec des fils ( liaison unilatérale), donc le lancement sans vitesse initiale ( chute "libre ralentie") s'effectuait avec une amplitude inférieure à 90° : on pourra s'essayer , gràce à la simulation présentée dans pendule pesant :, à retracer sans tricher ( c’est-à-dire sans regarder les valeurs tabulées) les valeurs de 4K .Il est vrai qu'à 18% près 4K est constante dans ces conditions:Galilée a donc pu se laisser abuser . . 2/.A la charge de Galilée, Koyré fait remarquer que c'est peu vraisemblable : si on dispose de plusieurs pendules identiques, on constate immédiatement le non-isochronisme: le déphasage est très visible au bout de 10 oscillations, or il prétend avoir observé les oscillations sur de plus grands nombres.MAIS, il avait une thèse à défendre : l'isochronisme. Plus vraisemblablement , en bon avocat, il triche(on sait , par ailleurs, que Galilée a "triché" de la même manière en d'autres occasions: déviation vers l'Est; marées; réponses à Kepler;...) :
-le fait fascinant à défendre est l'isochronisme .
-l'autre fait fascinant est la non-dépendance en masse. 3/.Compte-tenu de la résistance de l'air et du réel problème de la pseudo-période des oscillations amorties, Compte-tenu du fait que ce même problème de la résistance de l'air a dû être écarté avec la chute libre, Compte-tenu du fait qu'à 90°, un pendule à boule de liège et un pendule à boule d'acier ne se comportent pas de la même manière (c'est immédiatement visible, comme dans la chute libre, nonobstant la poussée d'Archimède),
il est vraisemblable que "cette tricherie a été honnête"', au sens du : elle a été portée au compte de la résistance de l'air. Galilée n'a pas dû se laisser abuser; il a dû décider, en bon avocat, de plaider ce qu'il a écrit. 4/.Comme toutes les opinions en épistémologie, ce sont des opinions; et on ne peut que supputer : le texte cité de Galilée dans le "dialogo" est donc à prendre avec précaution( cf pendule pesant), ainsi que la conclusion qui en est tirée. Une preuve en est la lettre de Mersenne au jeune Huygens : après avoir dit grande merveille de Torricelli, la question est posée : qu'en est-il de ce facteur K(k)/K(0) ( dit en notations modernes)? . On imagine, en 1645, le jeune Huygens en prise avec ce problème posé juste après le décès du Maître (1642), (déférence oblige), par son élève Torricelli. Apparemment ce facteur 1.18 lui a posé problème (ref : Chenciner, connaissez-vous le pendule simple?)

Voir aussi


-pendule pesant : l'analyse est plus détaillée et plus fouillée que cet article qui démarre à un niveau b.a.basique.
-pendule pesant composé
-pendule double
-puits de potentiel : il est conseillé de traiter le pendule cycloïdal avant le pendule simple.
-pendule simple discret : en apparence de niveau élémentaire
-pendule de Kater : examine la métrologie de mesure pendulaire de g
-pendule elliptique : se ramène facilement au pendule simple
-oscillation pendulaire de marée : il s'agit de la libration des satellites
-pendule simple de longueur variable : on y obtient l'équation générale de petites oscillations.
-pendule de Bessel :ici, l(t) = l0 + v0.t
-pendule adiabatique : une curiosité préquantique.
-pendule simple à résonance paramétrique : a contrario étudie les équations type de Mathieu.
-balançoire : analyse classique d'un cas l( \theta) résonant
-botafumeiro : encensoir de Saint-Jacques de Compostelle: résonance paramétrique
-pendule inversé : à condition d'asservir , via le théorème de Kapitza
-pendule entretenu par ancre : base de l'horlogerie
-pendule balistique : en apparence élémentaire
-pendule de Mach : facile modification de g en k.g
-pendule sphérique : difficile, mais intégrable via les fonctions de Jacobi présentées ci-dessus.
-pendule sphérique magnétique : rajoute au précédent la force d'un monopôle situé en O.
-pendule conique et pendule de Huygens :curiosité d'histoire.
-pendule de Newton : Système constitué de plusieurs pendules
-Oscillateur harmonique
-oscillateur harmonique et pendule simple en mécanique hamiltonienne:
-intégrateur symplectique

Bibliographie ==
- Alain Chenciner ; Connaissez-vous le pendule ?, Gazette des Mathématiciens (octobre 2000), p. 21-27. . Catégorie:Pendule bg:Махало da:Matematisk pendul de:Pendel en:pendulum es:péndulo fa:آونگ he:מטוטלת מתמטית it:Pendolo ms:Bandul nl:Slinger (natuurkunde) pl:Wahadło ru:Математический маятник sl:Nihalo sv:Pendel
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