Théorie cinétique des gaz

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La théorie cinétique des gaz considère que les gaz sont constitués de corpuscules (les molécules) en mouvement permanent dans toutes les directions et dont les chocs entre elles et avec la paroi sont parfaitement élastiques (elle considère aussi que leurs espaces intermoléculaires, étant très grandes, les forces d´attractions entre les molécules et l´énergie potentielle des gaz sont négligeable.) Elle permet d'expliquer les notions de :
- température : c'e
Théorie cinétique des gaz

La théorie cinétique des gaz considère que les gaz sont constitués de corpuscules (les molécules) en mouvement permanent dans toutes les directions et dont les chocs entre elles et avec la paroi sont parfaitement élastiques (elle considère aussi que leurs espaces intermoléculaires, étant très grandes, les forces d´attractions entre les molécules et l´énergie potentielle des gaz sont négligeable.) Elle permet d'expliquer les notions de :
- température : c'est une mesure de l'agitation des corpuscules, plus précisément de leur énergie cinétique ;
- pression : la pression exercée par un gaz sur une paroi résulte des chocs des corpuscules sur cette dernière.. La théorie cinétique des gaz a été développée à partir du et a été un des éléments déterminants dans la découverte de la notion d'atome. Elle est basée sur les idées de Daniel Bernoulli, John James Waterston, K.A. Krönig et Rudolf Clausius. James Clerk Maxwell et Ludwig Boltzmann en ont formalisé son expression mathématique.Samuel Glasstone, Textbook of Physical Chemistry - second edition p.248 Cette théorie comporte plusieurs degrés de complexité.
-Dans sa version la plus simple, on ignore les interactions entre les molécules, ainsi que leur taille : elle permet de retrouver l'équation d'état (macroscopique) des "gaz parfaits".
-En incluant les effets de taille des molécules, on peut décrire les collisions entre les molécules, ce qui donne accès aux propriétés de transport (viscosité, diffusion, effusion, conductibilité thermique).
- Van der Waals a proposé en 1873 une équation qui porte son nom, et qui tient compte à la fois de la taille des molécules et de leur interaction. Il se trouve que cette équation permet de décrire également la transition liquide-gaz (ébullition, évaporation, condensation). Elle a servi de guide à ceux qui, dans la seconde moitié du , cherchaient à liquéfier tous les gaz, jusqu'à l'hélium, liquéfié en 1908 à Leyde.

Description

Un gaz est un ensemble de molécules mono- ou poly-atomiques subissant un certain nombre d’interactions : on aura notamment des interactions électromagnétiques (comme les forces de van der Waals) et des chocs entre les particules mais aussi contre les parois du récipient contenant le gaz. Dans le cadre de la théorie cinétique, on fait les approximations suivantes :
- le volume des molécules est négligeable
- seuls les chocs ont une influence, les autres interactions sont négligeables. La trajectoire des molécules peut se modéliser avec le mouvement brownien. ;Approche intuitive du mouvement des molécules: Supposons que dans un récipient, toutes les molécules ont la même vitesse et la même direction. Ce système est instable parce que la moindre modification de trajectoire d'une seule molécule provoquera le heurt sur une autre molécule qui déviera et heurtera encore une autre avec un effet en chaîne qui établira le chaos donc le mouvement brownien. ;Dans la suite,
- P, désignera la pression du gaz,
- V, son volume,
- T, sa température thermodynamique, et
- n, le nombre de molécules.

Vitesse et pression

Statistiques sur les vitesses

Considérons une molécule ayant une vitesse de norme Dans notre cas une vitesse de grandeur et de direction définie v et frappant une surface. Elle subit un choc élastique, c'est-à-dire qu'elle repart en faisant un même angle avec la surface, avec une vitesse de même norme v C’est-à-dire avec la même vitesse. Si l'on choisit un repère orthonormé C’est-à-dire, dans notre cas, un trièdre rectangle e1, e2, e3, avec e1 perpendiculaire à la surface, alors cette vitesse se décompose selon les trois axes :\mathbf = v_1 \mathbf_1 + v_2 \mathbf_2 + v_3 \mathbf_3 On appelle c(v) d3v le nombre de molécules par unité de volume (la concentration) dont la vitesse est comprise dans un volume infinitésimal d3v autour de la valeur v. La concentration globale est donc : :C = \iiint c(\mathbf)\, d^3\mathbf = \frac La répartition statistique des vitesses étant isotrope, la moyenne des composantes de la vitesse est évidemment nulle : :\langle v_1\rangle = \langle v_2\rangle = \langle v_3\rangle = 0 La vitesse isotrope prend la même valeur dans toutes les directions et toutes les directions sont également probables Les moyennes quadratiques ne sont par contre pas nulles, une vitesse dans une direction et la même dans la direction opposée ont le même carréet elles sont égales entre elles par symétrie de rotation. Comme on a toujours :v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 = v^2 (théorème de Pythagore), on a en moyenne :\langle v_1^2\rangle = \langle v_2^2\rangle = \langle v_3^2\rangle = \frac\langle v^2\rangle avec :\langle v_i^2\rangle = \frac \iiint c(\mathbf) \, v_i^2 \, d^3\mathbf et :\langle v^2\rangle = \frac \iiint c(\mathbf) \, v^2 \, d^3\mathbf

Impact d'une molécule

Lorsqu'une molécule rebondit de manière élastique sur la surface, la composante perpendiculaire à la surface de sa quantité de mouvement varie de À l'arrivée, elle a une quantité de mouvement de mv au retour sa quantité de mouvement est -mv. La différence est donc 2mv :2\, m\, v_1 m étant la masse de la molécule. D'après les lois de Newton (principe fondamental de la dynamique et théorème des actions réciproques), l'intégrale en temps de la force qu'elle imprime sur la surface est donc :\int f_1 dt = 2 \, m \, v_1 .

Impact de toutes les molécules

On cherche maintenant, v étant fixé à d3v près, à savoir combien de molécules frappent une petite surface d'aire S durant une durée τ. Les molécules frappant la surface entre l'instant 0 et l'instant τ sont nécessairement dans un cylindre de base S et de hauteur v1τ — les autres molécules sont trop loin ou frappent à côté. Ce cylindre d'axe v a un volume de S v1 τ. La force d3F créée par toutes les molécules considérées est donc : :\int_0^\tau d^3F\, dt = 2 \, m \, v_1 \ S \, v_1 \, \tau \ c(\mathbf) \, d^3\mathbf . La force F créée par toutes les molécules s'obtient en intégrant sur v1 > 0 si l'on oriente e1 du gaz vers l'extérieur (on ne considère que les molécules allant vers la surface, pas celles s'en éloignant). Ceci revient à diviser par deux, en raison de la symétrie de la distribution c(v) : :\int_0^\tau F dt = 2 \, m \, S \iiint_ v_1^2 \, \tau\, c(\mathbf) \, d^3\mathbf = m \, \tau\, S \iiint v_1^2 \, c(\mathbf) \, d^3\mathbf En négligeant les fluctuations dans le temps de F, on peut intégrer sur t et simplifier par τ : :F = m \, S \iiint v_1^2 \, c(\mathbf)\, d^3\mathbf = m\, S\, C \langle v_1^2\rangle ou :F = \frac m\, S\, C \, \langle v^2\rangle La pression étant la force divisée par la surface, on obtient Bloc emphase|texte= p = \frac m \, C \langle v^2\rangle ou encore, par définition de C = n / V : Bloc emphase|texte= p \, V = \frac m \, n \, \langle v^2\rangle

Pression et énergie cinétique

Si une molécule de masse m se déplace à une vitesse v, son énergie cinétique vaut \frac m \, v^2 et l'énergie cinétique totale des molécules du gaz vaut :E_c = n \times \frac m \, \langle v^2\rangle = \frac p\, V

Gaz parfait monoatomique

Dans le cas d'un gaz parfait monoatomique, on suppose que la totalité de l'énergie est sous forme d'énergie cinétique des molécules (énergie thermique), donc l'énergie interne U du système vaut : :U = E_c On a donc :U = \frac p\, V

Gaz parfait de Laplace

Dans le cas plus général du gaz parfait de Laplace, on suppose que les molécules ont une énergie interne de rotation ou d'oscillation, proportionnelle à E_c. Le nombre de degrés de liberté passe de 3 à \nu et dans l'hypothèse d'équipartition, on a U = \frac\nu E_c, et donc Bloc emphase|texte= U = \frac\nu p\, V En modifiant adiabatiquement le volume du gaz, on fournit un travail -pdV égal à la variation d'énergie interne dU = \frac\nu \left(V dp+ p dV\right). Donc on a 0 = \frac\nu Vdp + \frac2+\nu pdV ou 0 = \frac + \frac2+\nu\nu \frac = d\left(p V^\frac2+\nu\nu \right). Traditionnellement, pour retrouver la loi de Laplace du gaz parfait en régime adiabatique P V^\gamma = \mathrm, on introduit Bloc emphase|texte= \gamma = \frac2+\nu\nu Pour le gaz parfait de Laplace, on a donc Bloc emphase|texte= U = \frac\gamma - 1 P\, V
- Pour un gaz réel monoatomique, ou même l'hydrogène à très basse température \nu = 3 et \gamma = \frac
- Pour un gaz réel diatomique à température intermédiaire (azote, hydrogène, ozygène autour de 300 K), on a deux degrés de rotation possible \nu \approx 5 et \gamma \approx \frac
- Pour un gaz réel diatomique à très haute température, l'oscillation longitudinale devient possible, et \nu tend vers 7 et \gamma tend vers \frac

Notes et références

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Sujets connexes
Atome   Choc   Choc élastique   Condensation   Cylindre   Daniel Bernoulli   Diffusion   Effusion   Force de van der Waals   Gaz parfait   Hélium   James Clerk Maxwell   Leyde   Lois du mouvement de Newton   Ludwig Boltzmann   Molécule   Mouvement brownien   Moyenne   Norme (mathématiques)   Physique statistique   Pression   Pression cinétique   Quantité de mouvement   Rudolf Clausius   Température   Théorème de Pythagore   Viscosité  
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