Septième problème de Hilbert

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Le septième problème de Hilbert concerne l'irrationalité et la transcendance de certains nombres (Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen). Dans sa formulation géométrique, il demande quand l'assertion suivante est démontrable : :Dans un triangle isocèle, si le rapport de l'angle de la base à l'angle du sommet est algébrique mais non rationnel, alors le rapport entre la base et le côté est toujours transcendant. Un cas particulier de ce problème dem
Septième problème de Hilbert

Le septième problème de Hilbert concerne l'irrationalité et la transcendance de certains nombres (Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen). Dans sa formulation géométrique, il demande quand l'assertion suivante est démontrable : :Dans un triangle isocèle, si le rapport de l'angle de la base à l'angle du sommet est algébrique mais non rationnel, alors le rapport entre la base et le côté est toujours transcendant. Un cas particulier de ce problème demande : : a^b\, est-il un transcendant, pour a \ne 0\, et a\ne 1\, algébrique et b algébrique irrationnel ? Lorsque b est rationnel, a^b\, sera algébrique. Le problème particulier fut résolu par Aleksandr Gelfond en 1934, et raffiné par Theodor Schneider en 1935. Ils ont démontré que a^b\, est transcendant lorsque b est algébrique et irrationnel. Ce résultat est connu comme le théorème de Gelfond ou de Gelfond-Schneider. À partir du point de vue des généralisations, ceci est le cas :b \log (\alpha) + \log(\beta) = 0\, de la forme linéaire générale en logarithmes.

Voir aussi

- Alan Baker
- Conjecture de Gelfond
- Problèmes de Hilbert Catégorie:Théorie des nombres Catégorie:Problème de Hilbert en:Hilbert's seventh problem pt:Sétimo problema de Hilbert
Sujets connexes
Alan Baker   Aleksandr Gelfond   Géométrie   Nombre algébrique   Nombre irrationnel   Nombre transcendant   Problèmes de Hilbert   Théorème de Gelfond-Schneider  
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