Théorème de la limite centrale

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Le théorème de la limite centrale (ou : de la limite centrée ; on trouve en franglais l'appellation fréquente de théorème central limite) est un ensemble de résultats sur la convergence faible d'une suite de variables aléatoires en probabilité. Intuitivement, d'après ces résultats, toute somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend vers une certaine variable aléatoire. Le résultat le plus connu et le plus important est sim
Théorème de la limite centrale

Le théorème de la limite centrale (ou : de la limite centrée ; on trouve en franglais l'appellation fréquente de théorème central limite) est un ensemble de résultats sur la convergence faible d'une suite de variables aléatoires en probabilité. Intuitivement, d'après ces résultats, toute somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend vers une certaine variable aléatoire. Le résultat le plus connu et le plus important est simplement appelé « théorème de la limite centrale » qui concerne une somme de variables aléatoires dont le nombre tend vers l'infini. Dans le cas le plus simple, considéré ci-dessous pour la démonstration du théorème, ces variables sont indépendantes et possèdent la même moyenne et la même variance. En général, la somme croît indéfiniment en même temps que le nombre de termes. Pour tenter d'obtenir un résultat fini, il faut centrer cette somme en lui soustrayant sa moyenne et la réduire en la divisant par son écart-type. Sous des conditions assez larges, la loi de probabilité converge alors vers une loi normale unitaire. L'omniprésence de la loi normale s'explique par le fait que de nombreux phénomènes considérés comme aléatoires sont dus à la superposition de causes nombreuses. La convergence est assurée dans ce cas simple par l'existence du moment d'ordre 3. Il existe plusieurs généralisations qui ne nécessitent pas des lois identiques mais font appel à des conditions qui assurent qu'aucune des variables n'exerce une influence significativement plus importante que les autres. Telles sont la condition de Lindeberg et la condition de Lyapounov. D'autres généralisations autorisent même une dépendance «faible». De plus, une généralisation due à Gnedenko et Kolmogorov stipule que la somme d'un certain nombre de variables aléatoires avec une queue de distribution décroissante selon 1/|x|α+1 avec 0 
Sujets connexes
Convergence de variables aléatoires   Convolution   Densité de probabilité   Fonction caractéristique d'une variable aléatoire   Fonction de répartition   Franglais   Logarithme   Loi de Lévy   Loi normale   Probabilité   Produit de convolution   Statistique mathématique   Suite (mathématiques)   Variable aléatoire  
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