Anneau topologique

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En mathématiques, un anneau topologique est un anneau (R, +, ×) muni d'une topologie telle que :
- (x , y) \to x + y est continue
-x \to - x est continue
-(x , y) \to xy est continue où R 2 est muni de la topologie produit.
Anneau topologique

En mathématiques, un anneau topologique est un anneau (R, +, ×) muni d'une topologie telle que :
- (x , y) \to x + y est continue
-x \to - x est continue
-(x , y) \to xy est continue où R 2 est muni de la topologie produit.

Exemples

L'ensemble des rationnels, des réels, des complexes, des nombres p-adiques sont des anneaux topologiques pour leur topologie classique (distance pour les 3 premiers, distance p-adique pour le dernier). Ce sont même des corps topologiques. L'ensemble des fonctions continues d'un espace topologique E vers l'ensemble des réels est un anneau topologique pour la topologie de la convergence simple.

Topologie I-adique

Si R est un anneau commutatif et I un idéal de R, alors R est un anneau topologique pour la topologie I-adique définie de la manière suivante: Un sous-ensemble U de R est ouvert si et seulement si , il existe un entier naturel n tel que :x + I^n \subseteq U Si, de plus, :\bigcap_n \in \mathbbI^n = \0\ alors R est un espace séparé ou espace de Hausdorff. La topologie p-adique sur les entiers relatifs est une topologie I-adique avec I = p\Z Si R est séparé, on peut induire sur R une distance : : d(x, y)=2^ où k est le premier entier tel que x-y \notin I^k : d(x, y)= 0 si x - y\in I^k pour tout entier k. On peut alors parler de suites de Cauchy et rechercher le complété de l'anneau R Catégorie:Structure algébrique topologique de:Topologischer Ring en:Topological ring ja:位相環 pt:Anel topológico
Sujets connexes
Anneau (mathématiques)   Anneau commutatif   Convergence simple   Distance (mathématiques)   Espace séparé   Espace topologique   Idéal   Mathématiques   Nombre complexe   Nombre p-adique   Nombre rationnel   Nombre réel   Suite de Cauchy  
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