Groupe abélien

Infos
En algèbre générale, un groupe abélien, ou groupe commutatif, est un groupe (\mathcal G, \star) où la loi de composition interne \star est commutative, c’est-à-dire que pour tous les éléments a, b \in \mathcal G, on a a \star b = b \star a. Les groupes abéliens portent le nom de Niels Henrik Abel.
Groupe abélien

En algèbre générale, un groupe abélien, ou groupe commutatif, est un groupe (\mathcal G, \star) où la loi de composition interne \star est commutative, c’est-à-dire que pour tous les éléments a, b \in \mathcal G, on a a \star b = b \star a. Les groupes abéliens portent le nom de Niels Henrik Abel.

Notations habituelles

Il y a deux notations courantes pour les groupes abéliens : la notation additive et la notation multiplicative. La notation multiplicative est la notation habituelle pour les groupes, la notation additive étant préférée pour les modules. La notation additive est également courante lorsque les groupes abéliens sont étudiés à part des autres groupes.

Exemples

Des exemples de groupes abéliens incluent les groupes monogènes tels que l'ensemble des entiers (\mathbb Z, +) et l'ensemble des entiers modulo n (\mathbb Z/ n\mathbb Z, +). L'ensemble des nombres réels, \mathbb R, forme un groupe abélien avec l'addition ; de même que l'ensemble des nombres réels non nuls, \mathbb R^
-, pour la multiplication. De la même façon tout corps \mathbb K renferme deux groupes, (\mathbb K, +) muni de l'addition sur ce corps et (\mathbb K^
-, .) privé de l'élément absorbant muni de la multiplication sur ce corps. Un autre exemple important est celui du groupe quotient \mathbb Q/\mathbb Z. Si n est un entier naturel et x est un élément d'un groupe abélien G, alors nx peut être défini comme x + x + ... + x (n sommes) et (-n)x = -(nx). De cette façon, \mathcal G devient un module sur l'anneau \mathbb Z des entiers. En fait, les modules sur \mathbb Z peuvent être identifiés avec les groupes abéliens. Les théorèmes sur les groupes abéliens peuvent souvent être généralisés en théorèmes sur les modules sur un anneau principal. Un exemple est la classification des groupes abéliens de type fini.

Propriétés

Tout sous-groupe d'un groupe abélien est un sous-groupe distingué, et ainsi les groupes quotients peuvent être formés librement. Les sous-groupes, les groupes quotients, les produits et les sommes directes de groupes abéliens, sont aussi abéliens. Si f, g : GH sont deux homomorphismes entre groupes abéliens, alors leur somme f+g, définie par (f+g)(x) = f(x) + g(x), est aussi un homomorphisme. (ce qui n'est pas vrai si H n'est pas un groupe abélien). L'ensemble Hom(G, H) de tous les homomorphismes de groupes de G vers H devient ainsi lui-même un groupe abélien. Les groupes abéliens, conjointement avec les homomorphismes, forment une catégorie, prototype d'une catégorie abélienne.

Rang

Quelque peu apparenté à la dimension d'un espace vectoriel, tout groupe abélien a un rang. Le rang est défini comme le cardinal du plus grand ensemble d'éléments linéairement indépendants du groupe. Les ensembles des nombres entiers et des nombres rationnels respectivement ont un rang égal à un. Alors que les rangs des groupes abéliens finis sont bien compris, les rangs des groupes infinis peuvent être extrêmement complexes et encore beaucoup de questions en suspens subsistent, souvent intimement liées à des questions de la théorie des ensembles.

Topologie

Beaucoup de grands groupes abéliens portent une topologie naturelle, les transformant en des groupes topologiques. Abelien bn:আবেলীয় গ্রুপ ca:Grup abelià cs:Abelova grupa da:Abelsk gruppe de:Abelsche Gruppe el:Αβελιανή ομάδα en:Abelian group eo:Komuta grupo es:Grupo abeliano et:Abeli rühm fa:گروه آبلی fi:Abelin ryhmä he:חבורה אבלית hu:Abel-csoport it:Gruppo abeliano ja:アーベル群 ko:아벨군 nl:Abelse groep nn:Abelsk gruppe no:Abelsk gruppe nov:Abelan grupe pl:Grupa przemienna pt:Grupo abeliano ro:Grup abelian ru:Абелева группа sk:Abelovská grupa sl:Abelova grupa sr:Абелова група sv:Abelsk grupp ta:பரிமாற்றுக் குலம் vi:Nhóm giao hoán zh:阿贝尔群 zh-classical:交換群
Sujets connexes
Addition   Algèbre générale   Anneau (mathématiques)   Anneau principal   Catégorie   Commutativité   Congruence sur les entiers   Corps (mathématiques)   Dimension   Entier naturel   Entier relatif   Espace vectoriel   Groupe (mathématiques)   Groupe abélien de type fini   Groupe quotient   Loi de composition interne   Module sur un anneau   Niels Henrik Abel   Nombre cardinal   Nombre réel   Somme directe   Sous-groupe   Théorie des ensembles   Topologie  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^