Compacité (mathématiques)

Infos
En topologie de la droite réelle, la propriété de Borel-Lebesgue est une propriété topologique remarquable des segments, basée sur la notion de recouvrement. Elle sert d'axiome en topologie générale pour définir la notion d'espace compact, et étendre plusieurs des résultats concernant les segments à un cadre très général. Le nom choisi pour cet axiome rend hommage aux mathématiciens français Émile Borel et Henri Lebesgue.
Compacité (mathématiques)

En topologie de la droite réelle, la propriété de Borel-Lebesgue est une propriété topologique remarquable des segments, basée sur la notion de recouvrement. Elle sert d'axiome en topologie générale pour définir la notion d'espace compact, et étendre plusieurs des résultats concernant les segments à un cadre très général. Le nom choisi pour cet axiome rend hommage aux mathématiciens français Émile Borel et Henri Lebesgue.

Propriété de Borel-Lebesgue

Définition préalable : Soit E un ensemble, et A une partie de E. On dit qu'une famille \Re = (X_i )_i \in I de parties de E recouvre A si leur réunion \bigcup\limits_i \in I contient A Propriété de Borel-Lebesgue pour les segments : soit un segment de la droite réelle. De tout recouvrement de ce segment par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini. C'est-à-dire que pour toute famille (U_i )_i \in I d'ensembles ouverts recouvrant , il existe une partie finie J de I telle que la sous-famille (U_i )_i \in J recouvre . Pour une démonstration de cette propriété voir le théorème de Borel-Lebesgue, aussi appelé théorème de Heine-Borel. La propriété de Borel-Lebesgue est étroitement liée à une propriété des suites bornées de réels : de toute suite bornée de réels, on peut extraire une suite convergente. Le lien entre les deux propriétés apparaîtra plus nettement dans la section suivante. De l'une ou l'autre de ces propriétés il est possible de tirer quelques conséquences importantes sur les fonctions numériques. Notamment : l'image d'un segment par une application continue est un segment, et la fonction est alors uniformément continue (théorème de Heine).

Axiome de Borel-Lebesgue et définition générale des compacts

Un espace topologique E est dit quasi-compact s'il vérifie 'axiome de Borel-Lebesgue' : de tout recouvrement ouvert de E, on peut extraire un sous-recouvrement fini. L'espace est dit compact quand il est en outre séparé. Par passage au complémentaire, cette dernière propriété est équivalente à la propriété suivante : si (F_i)_i\in I est une famille de fermés telle que \bigcap_i\in IF_i\ =\ \empty, alors on peut extraire une famille finie (F_i)_i\in J, avec J \subset I, telle que \bigcap_i\in JF_i\ =\ \empty. Ou encore, par contraposition, si toute intersection finie \bigcap_i\in JF_i d'une famille de fermés est non vide, alors l'intersection \bigcap_i\in IF_i de toute la famille est non vide. NB : La terminologie anglo-saxonne demande seulement la propriété des sous-recouvrements finis mais pas nécessairement la séparation.

Propriétés : compacts et fermés

Toute partie compacte d'un espace topologique séparé est fermée.
-Preuve directe: On suppose que x appartient au complémentaire de A dans E et on démontre qu'il existe un ouvert contenant x dont l'intersection avec A est vide. Ainsi ce complémentaire est ouvert et donc A est fermé : Soit x \in A^c. E étant séparé, pour tout y \in A il existe un ouvert O_y contenant y et un ouvert O_ (dépendant du choix de O_y) contenant x tel que O_y \cap O_=\emptyset. La réunion \bigcup_y\in AO_y de tels ouverts est un recouvrement de A par une famille d'ouverts. On peut donc en extraire un recouvrement fini de A: \bigcup_y\in IO_y, I étant un sous ensemble fini de A. Alors pour tout y \in I les implications successives : \displaystyleO_y \bigcap \big (\bigcap_y\in IO_\big)=\emptyset\Rightarrow \big(\bigcup_y \in I O_y\big)\bigcap \big (\bigcap_y\in IO_\big)=\emptyset\Rightarrow A \bigcap \big(\bigcap_y\in IO_\big)=\emptyset prouvent que l'ouvert \bigcap_y \in I O_ contenant x possède une intersection vide avec A. Ainsi A^c est ouvert et A est donc fermé.
-Preuve par contraposition: Soit A un espace qui n'est pas fermé. A^c n'est donc pas ouvert: Il existe b\in A^c tel que chacun de ses voisinages coupe A \quad (1) L'espace étant séparé, pour chaque point a de A, il existe: un ouvert O_a contenant a, un ouvert U_a ; et ceux-ci sont disjoints. L'ensemble des O(a) forme un recouvrement ouvert de A. Soit a' \in A: O(a') ne coupe pas U_ \quad (2) . Donnons alors P une partie de A contenant a'. Il suit de (2) que : \displaystyleO_ \cap \bigcap_a\in P \subset A U_a = \emptyset \quad Puis: \displaystyle\bigcup_a\in P \subset AO_a \cap \bigcap_a\in P\subset A U_a = \emptyset \quad (3) Supposons A compact : On peut extraire de \ O_a: \quad a \in A\ un sous recouvrement fini \ O_a: \quad a \in P \, , |P|
Sujets connexes
Compacité séquentielle   Espace métrique   Espace séparé   Henri Léon Lebesgue   Segment (mathématiques)   Suite bornée   Théorème de Borel-Lebesgue   Théorème de Heine   Topologie  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^