Matrice compagnon

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En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire :p(t)=c_0 + c_1 t + \dots + c_t^ + t^n\, est la matrice carrée définie de la façon suivante : :C(p)=\begin 0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & -c_ \\ \end. (même si certains considèrent qu'il s'agit de la transposée de cette matrice). Le polynôme caractéristique ainsi que le polynôme minimal
Matrice compagnon

En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire :p(t)=c_0 + c_1 t + \dots + c_t^ + t^n\, est la matrice carrée définie de la façon suivante : :C(p)=\begin 0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & -c_ \\ \end. (même si certains considèrent qu'il s'agit de la transposée de cette matrice). Le polynôme caractéristique ainsi que le polynôme minimal de C(p) sont égaux à p ; en ce sens, la matrice C(p) est la « compagne » du polynôme p. Si le polynôme p(t) possède n racines distinctes λ1, ..., λn (les valeurs propres de C(p)), alors C(p) est diagonalisable de la façon suivante : :V C(p) V^ = \mbox(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\, où V est la matrice de Vandermonde associée à λ1, ..., λn. Si A est une matrice d'ordre n dont les coefficients appartiennent à un corps K, alors les propositions suivantes sont équivalentes :
- A est semblable à une matrice compagnon à coefficients dans K
- le polynôme caractéristique de A est le polynôme minimal de A
- il existe un vecteur v dans Kn tel que est une base de Kn Toutes les matrices carrées ne sont pas semblables à une matrice compagnon mais toute matrice est semblable à une matrice composée de blocs de matrices compagnons. De plus, ces matrices compagnons peuvent être choisies de telle sorte que leurs polynômes caractéristiques se divisent entre eux ; ils sont alors déterminés de façon unique par A. C'est la forme canonique rationnelle de A. Compagnon de:Begleitmatrix en:Companion matrix
Sujets connexes
Algèbre linéaire   Base (algèbre linéaire)   Corps (mathématiques)   Matrice de Vandermonde   Matrice semblable   Polynôme   Polynôme caractéristique   Polynôme minimal   Réduction d'endomorphisme  
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