Algèbre de Boole (structure)

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En mathématiques, une algèbre de Boole ou un treillis booléen est un type de structure algébrique.
Algèbre de Boole (structure)

En mathématiques, une algèbre de Boole ou un treillis booléen est un type de structure algébrique.

Définition

Une algèbre de Boole est un ensemble E contenant au moins deux éléments particuliers, \top et \perp, muni de deux lois de composition internes, \vee et \wedge, et qui vérifie les axiomes suivants :
-1. associativité : Pour tous a, b et c de E, : (a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c) et (a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c)
-2. commutativité : Pour tous a et b de E, :\quad a \vee b = b \vee a et a \wedge b = b \wedge a
-3. absorption : Pour tous a et b de E, :a \wedge (a \vee b) = a et a \vee (a\wedge b) = a
-4. distributivité d'une loi par rapport à l'autre : Pour tous a, b et c de E, :(a \vee b) \wedge c = (a \wedge c) \vee (b \wedge c) et (a \wedge b) \vee c = (a \vee c) \wedge (b \vee c)
-5. idempotence : Pour tout a de E, : a \vee a = a et a \wedge a = a
-6. bornes : Pour tout a de E, : \top \vee a = \top et \perp \wedge a = \perp
-7. complémentarité : Pour tout a de E, :a\quad possède un complémentaire noté \neg a, tel que a \vee \neg a = \top et a \wedge \neg a = \perp Les propriétés 1, 2, 3 et 5 définissent une structure de treillis. Ainsi, une algèbre de Boole est un treillis borné, distributif et complémenté.

Propriétés

Les propriétés suivantes se démontrent à partir des axiomes de la définition :
-\top = \neg \perp.
-\perp = \neg \top.
-Pour tout a de E, \neg \; \neg a = a.
-Pour tout a de E, le complémentaire est défini de manière unique. Autrement dit : ::a \lor b = \top \;\rm et\; a \land b = \bot \Rightarrow b = \lnot a
-\top est l'élément neutre de la loi \wedge.
-\perp est l'élément neutre de la loi \vee.
-Pour tout a et b de E, ::\neg(a\vee b) = \neg a \wedge \neg b. ::\neg(a\wedge b) = \neg a \vee \neg b ::(ces deux dernières formules sont les formules de De Morgan).

Conclusion

La plus simple algèbre de Boole est l'ensemble des valeurs de vérité muni des lois ET et OU. C'est la première algèbre qui fut créée par George Boole, un mathématicien britannique qui durant le milieu du restructura complètement la logique. Cette algèbre a donné naissance à tout une branche des mathématiques et de la logique appelée l'Algèbre de Boole. Rappelons-nous cependant qu'une algèbre de Boole n'est qu'une construction algébrique abstraite qui dépasse le cadre des fonctions logiques. L'ensemble des parties d'un ensemble, muni des opérations d'union, d'intersection et de complémentation en forme un autre exemple, lui aussi très banal, et particulièrement significatif algèbre de Boole.

Voir aussi

- Calcul des propositions
- Ensemblist, un jeu video qui utilise l'algèbre de Boole. Catégorie:Structure algébrique ast:Álxebra de Boole bg:Булева алгебра bn:বুলিয়ান বীজগণিত ca:Àlgebra de Boole cs:Booleova algebra de:Boolesche Algebra en:Boolean algebra (structure) eo:Bulea algebro es:Álgebra de Boole fa:جبر بولی fi:Boolen algebra gl:Álxebra de Boole he:אלגברה בוליאנית hr:Booleova algebra hu:Boole-algebra id:Aljabar Boolean io:Booleana algebro it:Algebra di Boole ja:ブール代数 ko:불 대수 lt:Būlio algebra nl:Booleaanse algebra no:Boolsk algebra pl:Algebra Boole'a pt:Álgebra booleana ru:Булева алгебра simple:Boolean algebra sl:Booleova algebra sr:Булова алгебра sv:Boolesk algebra th:พีชคณิตแบบบูล tl:Aldyebrang Boolean tr:Boole cebiri uk:Булева алгебра zh:布尔代数
Sujets connexes
Algèbre de Boole (logique)   Associativité   Auguste De Morgan   Calcul des propositions   Commutativité   Distributivité   Ensemble   Ensemblist   Fonction logique   George Boole   Logique   Loi de composition interne   Mathématiques   Structure algébrique   Treillis (ensemble ordonné)  
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