Algèbre sur un anneau

Une algèbre sur un anneau commutatif unitaire A est une structure de A-module et d'anneau telle que la loi de multiplication de l'anneau soit A-bilinéaire. Soit A un anneau (commutatif, unitaire). On dit que (B, +, ., \times) est une A-algèbre lorsque : :: (B, +, .) est un A-module, :: (B, +, \times) est un anneau, :: \forall \lambda \in A, \forall x, y \in B, \lambda . (x \times y) = x \times (\lambda . y) = (\lambda . x) \times y. Les éléments de A sont appelés les scalaires. Lorsque A est un corps commutatif, on parle alors d'algèbre sur un corps.

Exemples

- Si (M , +, .) est un A-module et A un anneau commutatif unitaire, l'ensemble des endomorphismes de module sur M est une A-algèbre
- Tout anneau (M, + ,
- ) est une \mathbb- algèbre pour la loi externe définie par :: pour n > 0, n.x = x + ... + x avec n termes x :: pour n = 0, n.x = 0 :: pour n < 0, n.x = -(x + ... + x) avec |n| termes x
- L'ensemble des polynômes sur un anneau A commutatif unitaire est une A-algèbre. Catégorie:Structure externe